高中職數學科補救教學示例研發教材
教學單元：乘法公式
組員：阮錫琦
陳敏晧
陳彥宏
劉裕泉
 |
要點1 平方公式
先備知識
完全平方公式
1.
﹐如圖1﹒
﹐如圖1﹒
平方差公式
3.
(a+b)(a-b)=a2－b2 ﹐如圖3
圖1 圖2
圖3
例題1. 計算:
=
=
解:
常見錯誤類型:(1)學生會直接求值,而不利用乘法公式。
(2)使用乘法公式直接展開但是帶錯公式或不會用公式,
例如
補救策略: 將公式和數據寫成兩行,一個一個跟學生解釋
此時
展開給學生看。
展開給學生看。
類題1. 計算:
解：
常見錯誤類型: 學生會直接求值,而不利用乘法公式
補救策略: 將公式和數據寫成兩行,一個一個跟學生解釋
此時
帶學生做一次,並鼓勵學生不要因為數據簡單就直接動手算,使用乘法公式會更快。
帶學生做一次,並鼓勵學生不要因為數據簡單就直接動手算,使用乘法公式會更快。
例題2. 
計算:
=
計算:=
解：
常見錯誤類型:(1)學生會直接求值,而不利用乘法公式,造成計算的困難
(2)學生會做成
補救策略: 告訴學生利用乘法公式可以使計算更快速更便利。
類題2 展開
解: 
常見錯誤類型:學生會背誦公式,但是運用到文字上卻不知道如何使用。
補救策略:由教師示範並提供類似題目讓學生練習加深印象。
例題3. 計算:
解: 
常見錯誤類型:(1)學生會直接求值,而不利用乘法公式,造成計算的困難。
(2)學生做到
,接下來卻用分配律將式子展開,而不是用乘法公式。
,接下來卻用分配律將式子展開,而不是用乘法公式。
補救策略: 將公式寫出並解一次給學生看,讓學生體驗使用公式的便利,並加深學生對公式的印象。
類題3. 計算:
解: 
常見錯誤類型:(1)學生會直接求值,而不利用乘法公式,造成計算的困難。
(2)學生做到
,
,
接下來卻用分配律將式子展開,而不是用乘法公式。
補救策略: 將公式寫出並解一次給學生看,讓學生體驗使用公式的便利,
並加深學生對公式的印象。
並加深學生對公式的印象。
解:
常見錯誤類型:學生直接使用分配律展開導致計算錯誤。
補救策略:此題可以加強學生了解括號的用法,以及對乘法公式的應用,並加強計算能力。
類題4.
解:
常見錯誤類型:學生直接使用分配律展開導致計算錯誤。
補救策略:如果學生不擅長觀察式子,可以將x+2y先用a代換。
例題5.
求(100 - 0.24)2- (100 + 0.24)2的值____________。
解:
(100 - 0.24)2- (100 + 0.24)2
= [100 - 0.24 + 100 + 0.24][100 - 0.24 - 100 - 0.24]
= 200( - 0.48) = -96
= 200( - 0.48) = -96
解二：
(100 - 0.24)2- (100 + 0.24)2
= [1002 -
2*100*0.24 + (0.24)2] –[1002 + 2*100*0.24 + (0.24)2]
= -4*100*0.24 =
-96
常見錯誤類型:學生將兩個式子用乘法公式展開然後計算錯誤。
補救策略: 此題可以用兩種方法解題,
4a b =(a+b)2－(a－b)2
或者
教師可將兩種方法都教授,增加學生對公式的了解。
類題5. 求(10 + 0.6)2- (10 - 0.6)2的值____________。
解:
(10 + 0.6)2- (10 - 0.6)2
= [10+0.6 + 10 -0.6][10+ 0.6 - 10 +0.6]
= 20( 1.2) =24
= 20( 1.2) =24
常見錯誤類型:學生將兩個式子用乘法公式展開然後計算錯誤。
補救策略:此題可以用兩種方法解題,
4a b =(a+b)2－(a－b)2
或者
教師可將兩種方法都教授,增加學生對公式的了解。
例題6. 
求
求
解: (1)
,
, 
(2) 
(3)承(2) 
常見錯誤類型: 學生不知道這題可以用乘法公式解決,試圖想將ab個別解出。
補救策略: 將兩個乘法公式寫出,讓學生發現此題只是在考公式的應用,
並比較兩個公式的異同,以及兩公式之間的相互關係。
類題6. 設a+b= 7，ab= 3，則a2-5a b+b2=
解: a2- 5a b+b2= (a2+ 2a b+b2) - 7a b= (a+b)2- 7a b= 72- 7 ´ 3 = 28
常見錯誤類型:學生試圖想解出ab,在計算上遭遇困難。
補救策略:提醒學生此題在考平方和或差公式的變化。
課後練習
1. 計算: 
解:
2. 已知
，利用 公式
，利用 公式
求出 
的值
的值
解:
3. 求
解:
常見錯誤類型 ：學生只要看到完全平方式都用『┼』進行計算，請老師注意提醒。
補救策略:熟練之後，可將兩種公式交替命題加強學生的印象。
4. 
=
=
解：
5. 
=
=
解：
常見錯誤類型I： 
➭記得文字平方，但忘記數字也要平方。
常見錯誤類型II： 
➭
補救策略:以上兩種錯誤的情況相當普遍，請老師說明括號的使用時機。
要點2 立方公式
先備知識
1.
和的立方公式：
。
。
2.
【說明】：
。或如圖4，將一個邊長為
的正立方體視為2個邊長分別為
的正立方體、3個體積為
的長方體及3個體積為
的長方體之和。
。或如圖4，將一個邊長為的正立方體視為2個邊長分別為的正立方體、3個體積為的長方體及3個體積為的長方體之和。 |
圖4 一個邊長為
的正立方體可切割成2個邊長分別為
的正立方體、3個體積為
的長方體及3個體積為
的長方體。
的正立方體可切割成2個邊長分別為的正立方體、3個體積為的長方體及3個體積為的長方體。
3.
差的立方公式：
。
。
【說明】
。
。
要點2教學注意事項：
1. 利用分配律直接展開與正立方體切割2種不同的表徵方式來呈現和的立方公式，教師可依學生實際的學習狀況決定以何種表徵來介紹給學生。
2. 待學生已經熟悉和的立方公式後，再將差的立方公式中的
(減b)以
代入和的立
(減b)以代入和的立
方公式，方便學生學習。因此，建議程度比較不好的學生只需熟記和的立方公式便可。
例題1
展開下列各式：
(1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒
(4)
﹒ (5)
﹒ (6)
﹒
(1)
﹒ (2) ﹒ (3) ﹒ (4)
﹒ (5) ﹒ (6) ﹒
(1) 
﹒ (2) 
﹒ (3) 
﹒
(4) 
﹒ (5) 
﹒ (6)
﹒
﹒ (5) ﹒ (6)
﹒ 
(1)
﹒
(2)
﹒
(3)
﹒
﹒(3)
﹒
(4)
﹒
﹒
(5)
﹒
(6)
﹒
﹒(6)
﹒
常見錯誤類型與教學注意事項：
1. 在展開形如第(2)題(第(3)題)
時，學生可能會忘記將2x的係數2一起計算次方，例如
，請教師在講解時，提醒學生注意。
時，學生可能會忘記將2x的係數2一起計算次方，例如，請教師在講解時，提醒學生注意。
2. 在展開形如第(5)題(第(6)題)
時，學生可能會忘記負數的奇數次方為負數、偶數次方為正數，因而影響展開式的正確性，請教師在講解時，提醒學生注意。
時，學生可能會忘記負數的奇數次方為負數、偶數次方為正數，因而影響展開式的正確性，請教師在講解時，提醒學生注意。
3. 在展開形如第(3)題(第(6)題)
時，學生可能會因為係數的次方運算比較複雜而計算錯誤，影響展開式的正確性，例如在計算展開式中的
項時，學生或許會忘記
中最前面的3倍，或是記得了但卻計算錯誤，請教師在講解時，提醒學生注意。
時，學生可能會因為係數的次方運算比較複雜而計算錯誤，影響展開式的正確性，例如在計算展開式中的項時，學生或許會忘記中最前面的3倍，或是記得了但卻計算錯誤，請教師在講解時，提醒學生注意。
類題1
展開下列各式：
(1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒
(4)
﹒ (5)
﹒ (6)
﹒
(1)
﹒ (2) ﹒ (3) ﹒ (4)
﹒ (5) ﹒ (6) ﹒ (1) 
﹒ (2) 
﹒ (3) 
﹒
(4) 
﹒ (5) 
﹒ (6)
﹒
﹒ (5) ﹒ (6)
﹒ (1)
﹒
(2)
﹒
(3)
﹒
﹒(3)
﹒
(4)
﹒
﹒
(5)
﹒
(6)
﹒
﹒(6)
﹒
例題2
試展開下列各式：
(1)
﹒ (2)
﹒
(3)
﹒ (4)
﹒
(1)
﹒ (2) ﹒ (3)
﹒ (4) ﹒ (1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒ (4)
﹒ (1)
﹒
(2)
﹒
(3)
﹒
﹒(3)
﹒
(4)
﹒
﹒
常見錯誤類型與教學注意事項：
1. 本大題中的(3)、(4)兩小題較為複雜，在學生還未完全熟悉公式之前，建議教師先跳過，待學生已完全熟悉立方公式之後再行講解與練習。
2. 第(1)小題是承接例題1的題目，讓學生再次檢視自己是否已熟悉公式，建議教師可視學生學習情況決定是否留給學生自行練習。
3. 在展開形如第(2)題
時，學生可能會因為係數的次方運算比較複雜而計算錯誤，影響展開式的正確性，請教師在講解時，提醒學生注意。另外，學生也可能忘記分數的次方如何計算，請教師在講解時，提醒學生注意。
時，學生可能會因為係數的次方運算比較複雜而計算錯誤，影響展開式的正確性，請教師在講解時，提醒學生注意。另外，學生也可能忘記分數的次方如何計算，請教師在講解時，提醒學生注意。
4. 在展開形如第(3)題(第(4)題)
時，學生可能會因為次方運算比較複雜而計算錯誤，進而影響展開式的正確性，例如學生或許會忘記
、
，請教師在講解時，提醒學生注意。
時，學生可能會因為次方運算比較複雜而計算錯誤，進而影響展開式的正確性，例如學生或許會忘記、，請教師在講解時，提醒學生注意。
類題2
試展開下列各式：
(1)
﹒ (2)
﹒
﹒ (2) ﹒
(3)
﹒
﹒ (1) 
﹒ (2) 
﹒ (3) 
﹒ (1)
﹒(2)
﹒
(3)
﹒
﹒
例題3
試計算下列各式的值：
(1)
﹒ (2)
﹒
﹒ (2) ﹒
(3)
﹒ (4)
﹒
﹒ (4) ﹒
(5)
﹒ (6)
﹒
﹒ (6) ﹒ (1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒ (4)
﹒ (5)
﹒ (6)
﹒ (1)
﹒
(2)
﹒
(3)
﹒
﹒(3)
﹒
(4)
﹒
﹒
(5)
﹒
﹒
(6)
﹒
﹒
常見錯誤類型與教學注意事項：
1. 本大題主要讓學生熟悉前述立方公式在實際數字運算時的應用，並體會在計算某數的三次方時，若可以將該數拆成次方計算較為容易的兩數之和，計算起來會比直接乘開容易。
2. 學生可能會不知道如何將一數寫成次方計算較為容易的兩數之和，教師在教學時，應隨時對學生進行提示。
類題3
試計算下列各式的值：
(1)
﹒ (2)
﹒
﹒ (2) ﹒
(3)
﹒ (4)
﹒
﹒ (4) ﹒ (1) 
﹒ (2) 
﹒ (3) 
﹒ (4) 
﹒ (1)
﹒
(2)
﹒
﹒
(3)
﹒
﹒
(4)
﹒
﹒
課後練習
要點3 立方公式
先備知識
1. 立方和公式：
﹒
﹒
2. 立方差公式：
﹒
﹒
教學注意事項：
1. 利用分配律直接展開即可呈現立方和與立方差公式。
2. 例題2除了可以使用分配律外，也可以將立方差的公式中的
以代入立方和公式。但是，建議程度稍弱的學生只需熟記公式便可。
以代入立方和公式。但是，建議程度稍弱的學生只需熟記公式便可。
3. 例題3與例題4目的是讓學生熟悉公式，因此，建議教師先讓學生試著自己解決問題，如有需要再進行教學演示。
4. 學生錯誤類型，往往將立方和記為
或
，立方差雷同。
或，立方差雷同。
例題1:
請試著導出
。
。
解法:利用分配律
例題2:
請試著導出
。
。
解法:利用分配律
例題3:
展開下列各式：
(1)
﹒
(1)
﹒
(2)
﹒
﹒
(3)
﹒
﹒
(4)
﹒
﹒ (1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒ (4)
﹒ (1)原式
﹒ (2)原式
﹒ (3)原式
﹒ (4)原式
﹒
例題4:
試展開下列各式：
(1)
﹒
(2)
﹒
(3)
﹒
(1)
﹒(2)
﹒ (3)
﹒
(4)
﹒
(5)
= ﹒
﹒(5)
= ﹒
(6)
= ﹒
= ﹒
(1)
﹒ (2)
﹒ (3)
﹒ (4)
﹒ (5)
﹒ (6)
﹒
(1)原式
﹒ (2)原式
﹒ (3)原式
﹒ (4)原式
﹒
(5)原式
(6)原式
課後練習
